O Teste de Jarque-Bera para a Verificação da Hipótese de Normalidade dos Resíduos em Regressões para

Quando a Azzi Engenharia ou qualquer outra empresa ou profissional que preste serviço de avaliação de imóveis faz um laudo conforme a NBR-14653, esta deve dar prioridade ao Método comparativo de dados de mercado que segundo a mesma norma consiste em representar o valor de mercado de um bem, a variável dependente, por uma série de variáveis independentes que podem ser: características físicas, econômicas, de localização do bem em estudo que ajudam a explicar o comportamento da variável dependente, técnica também conhecida como regressão, como no exemplo da equação abaixo:

Sendo, Ŷ = variável dependente calculada em função das características estudadas; X1, X2, Xk = variáveis Independentes; β1, β2, βk = coeficientes de regressão.

O Pesquisador após determinar quais características quer analisar, busca então uma série de dados de mercado com seu preço, e as características em estudo. Após chegar a uma quantidade de dados adequada é feita a regressão com a variável dependente em função das variáveis independentes estudadas, geralmente a partir do Método dos Mínimos Quadrados, que consiste em minimizar o quadrado das diferenças entre os preços dos dados coletados e os preços calculados a partir da equação da regressão para o cálculo dos coeficientes de Regressão, essa diferença também é conhecida como termo de erro ou resíduo.

Sendo, Y = variável dependente efetivamente coletada; u = termo de erro.

Para que essa equação calculada a partir do Método dos Mínimos Quadrados seja o melhor estimador não tendencioso da variável dependente e para que se possa utilizar as estatísticas t de student e F de Snedcor para verificar os parâmetros calculados ela deve, segundo Gujarati, cumprir algumas hipóteses, destacamos entre elas:

1. Linearidade nos parâmetros (betas); 2. Valores de X, independentes dos termos de erro; 3. Termo de erro seguem distribuição normal; 4. Homocedasticidade dos termos de erro; 5. Ausência de correlação serial dos termos de erro; 6. Ausência de colinearidade entre as variáveis X.

Abordaremos hoje a normalidade dos termos de erro, é uma prática comum entre os avaliadores a validação da hipótese de normalidade dos termos de erro a partir da plotagem de histogramas de frequências dos resíduos e posterior análise gráfica verificando se o formato do histograma é parecido com a curva de distribuição normal, este teste, apesar de simples e presente na norma, é subjetivo e pode sofrer do viés de aceitação do pesquisador. Um critério mais objetivo a ser utilizado pode ser o Teste de aderência não paramétrico de Jarque-Bera, que também é citado no Anexo A (procedimentos para a utilização de modelos de regressão linear) da NBR 14653-2. O teste de Jarque-Bera consiste em calcular a seguinte equação:

Sendo,

n = tamanho da amostra; S = assimetria; C= Curtose.

Quanto mais próximo de 0 for a estatística JB; maior a probabilidade da distribuição ser normal, Jarque e Bera demonstraram que para amostras grandes, ela também segue a distribuição Qui-quadrado bicaudal com 2 graus de liberdade. Podendo-se chegar então ao valor p da estatística calculada rejeitando-se a hipótese de normalidade se o valor p for menor que um determinado nível 5% ou 10% por exemplo. A assimetria e a curtose por sua vez podem ser calculadas a partir das seguintes fórmulas, partindo do pressuposto de que os resíduos tem média 0, verdadeiro para uma regressão feita pelo método dos mínimos quadrados:

Os valores esperados para assimetria e curtose em uma distribuição normal são de 0 e 3 respectivamente. Torman, Coster e Riboldi simularam diferentes tipos de distribuição e calcularam o índice de acerto do Teste de Jarque-Bera com valor p em 5% para diversas amostras nessas distribuições, independentemente do tamanho da amostra o teste rejeita a hipótese de distribuição normal, quando ela é verdadeira menos de 5% das vezes. Para a rejeição da hipótese de normalidade em distribuições Qui-Quadrado e Exponencial o teste passa a ter um índice de acerto maior do que 50% em tamanhos amostrais maiores que 30, esse tamanho aumenta para 500 nas distribuições Gama e Exponencial.

Pode-se concluir que o teste de Jarque-Bera passa a ter uma eficiência maior quanto maior for o tamanho da amostra, muitas vezes a amostra utilizada em uma avaliação não vai ser tão grande para que o teste seja eficiente no critério de decisão de aceitar ou rejeitar a normalidade a um determinado p valor, mesmo assim, o teste fornece um parâmetro exato de quanto a simetria e a curtose de uma distribuição se distância da distribuição normal, tornando esse tipo de análise menos subjetiva do que a visualização do formato do histograma de frequência de resíduos e torna os resíduos de diferentes regressões passíveis de terem sua normalidade comparada.

REFERÊNCIAS:

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Avaliação de Bens. NBR 14653. Rio de Janeiro. 2011 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Avaliação de Bens: Imóveis Urbanos. NBR 14653-2. Rio de Janeiro. 2011 GUJARATI, D. ; PORTER, D. Basic Econometrics. 5° ed. New York. McGraw-Hill.2011. TORMAN, V. B. L. ; COSTER, R. ; RIBOLDI, J. Normalidade de Variáveis: Métodos de Verificação e Comparação de Alguns Testes Não-Paramétricos por Simulação. Revista HCPA.

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