Testes de Jarque-Bera e Breusch-Pagan-Godfrey – Um Exemplo Numérico
Muitas vezes o entendimento de fórmulas e notações torna-se mais leve e ágil quando acompanhadas de exemplos práticos, para isso faremos uma demonstração dos métodos de Jarque-Bera para verificação da hipótese da normalidade dos resíduos e de Breusch-Pagan-Godfrey para homocedasticidade dos resíduos. Utilizaremos dados coletados de ofertas de vendas de apartamentos na cidade de Camboriú, para fazermos uma regressão do preço de venda em função da área privativa e da quantidade equivalente de área comum para o apartamento, como o nosso objetivo aqui é a exemplificação dos métodos e não a obtenção do melhor modelo para representar o mercado imobiliário, será utilizada uma amostra reduzida de 5 ofertas e somente as duas variáveis independentes, o que irá reduzir o tamanho das matrizes para cálculo, servindo melhor ao propósito didático deste artigo. Seguem os dados:
A matriz de coeficientes de regressão para o método dos mínimos quadrados pode ser obtida a partir da fórmula matricial: [if !supportLineBreakNewLine] [endif]
Sendo, Y = Vetor de observações para a variável dependente; X = Matriz com a primeira coluna unitária para o coeficiente de regressão independente, seguida de n colunas com as observações de n variáveis independentes. O que para o nosso exemplo resulta em: [if !supportLineBreakNewLine] [endif]
Resultando nos seguintes resíduos u: [if !supportLineBreakNewLine] [endif]
Procedemos então para o teste de Jarque-Bera de normalidade dos resíduos, lembrando sempre que a amostra é pequena demais para a sua eficiência, estamos aqui preocupados em exemplificar os cálculos. Seguem as equações já apresentadas no nosso artigo explicativo do referido teste (link).
Para o nosso caso, n = 5, fazendo as substituições nas fórmulas de Assimetria, Curtose e Jarque-Bera chegamos aos resultados: [if !supportLineBreakNewLine] [endif]
Sendo o Valor-p, o nível de significância extraído da distribuição de qui-quadrado para o valor de JB calculado e 2 graus de liberdade. Estipulando 10% como nível de significância desejado, a hipótese de normalidade não poderia ser descartada para esse exemplo.
Uma vez que não descartamos a hipótese de normalidade, prosseguiremos para o teste de Breusch-Pagan-Godfrey (BPG). Da mesma forma seguem as equações já dadas no nosso artigo sobre homocedasticidade. (link)
A média dos quadrados dos resíduos é: [if !supportLineBreakNewLine] [endif]
Dividimos então os termos de erro ao quadrado por σ² para encontrarmos as observações das variáveis dependentes da nossa regressão de teste: [if !supportLineBreakNewLine] [endif]
Iremos testar a hipótese de homocedasticidade dos resíduos contra as duas variáveis independentes do modelo original:
Aplicando o método dos mínimos quadrados:
Que resulta na seguinte equação:
A média de u²/ σ², as amostras da nossa variável dependente, é 1 como esperado, procedemos então para o cálculo da SQE:
Da distribuição Qui-Quadrado, o nível de significância que encontramos com ½ SQE = 1,185813; e (i-1) = 2 graus de liberdade é de 55,27%, o que não faria rejeitarmos a hipótese de homocedasticidade ao nível de significância de 10%. Esperamos que o artigo tenha esclarecido eventuais dúvidas sobre as aplicações do método, quaisquer dúvidas, sugestões ou críticas podem ser colocadas na seção de comentários, reiteramos que a amostra utilizada não é adequada para a utilização destes testes, mas o uso de uma amostra maior teria resultado em matrizes igualmente maiores, prejudicando a didática desta publicação.
REFERÊNCIAS:
DANTAS, R.A. Engenharia de Avaliações: Uma Introdução a Metodologia Científica. 3° ed. São Paulo. PINI. 2012. GUJARATI, D. ; PORTER, D. Basic Econometrics. 5° ed. New York. McGraw-Hill.2011.
PORTAL ACTION. Diagnóstico da Homocedasticidade.Disponível em: (www.portalaction.com.br/analise-de-regressao/32-diagnostico-de-homoscedasticidade). Acesso em 13/02/2017.
Comentários