Critério Objetivo para o Teste da Homocedasticidade dos Resíduos em Regressões para Avaliação de Imó

13 de fev. de 2017

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Como já havíamos comentado no artigo anterior sobre o Teste de Jarque-Bera, as regressões efetuadas com o Método dos Mínimos Quadrados para fins de avaliações de imóveis devem atender certas premissas para que sejam bons estimadores do preço de um bem. O Artigo em questão trata da normalidade dos resíduos, hipótese que se não for verificada causa incerteza dos resultados alcançados a partir de testes estatísticos de significância individual dos parâmetros, teste T e de significância global do modelo, teste F de Snedecor. Outra hipótese que deve ser atendida em regressões é a homocedasticidade dos termos de erro, que significa que a variância do termo de erro permanece constante mesmo quando há variação na variável dependente ou em qualquer das variáveis independentes, presentes ou não no modelo.

Exemplo de Distribuição Homocedástica

Exemplo de Distribuição Heterocedástica

Assim como acontece com a hipótese da normalidade, é pratica comum no mercado de avaliações a validação da hipótese da homocedasticidade a partir da plotagem de gráficos de termos de erro em função da variável dependente, procedendo-se a verificação gráfica. Alternativamente, como um critério mais objetivo, podemos utilizar o teste de Breusch-Pagan-Godfrey. Esse teste consiste em calcular a média dos quadrados dos termos de erro, como na segue na equação:

[if gte msEquation 12]><m:oMathPara><m:oMath><span style='font-size:11.0pt;line-height:107%;font-family:"Cambria Math","serif"; mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font:minor-latin; mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi; mso-ansi-language:PT-BR;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r><m:rPr><m:scr m:val="roman"></m:scr><m:sty m:val="p"></m:sty></m:rPr>Sendo, </m:r></m:oMath><m:oMath><span style='font-size:11.0pt;line-height: 107%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-fareast-font-family:Calibri; mso-fareast-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman"; mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT-BR;mso-fareast-language: EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'>u = termos de erro <span style='font-size:11.0pt;line-height:107%;font-family:"Calibri","sans-serif"; mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font: minor-latin;mso-hansi-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman"; mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT-BR;mso-fareast-language: EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'> </m:oMath><m:oMath><span style='font-size:11.0pt;line-height:107%; font-family:"Cambria Math","serif";mso-fareast-font-family:Calibri; mso-fareast-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman"; mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT-BR;mso-fareast-language: EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r><m:rPr><m:scr m:val="roman"></m:scr><m:sty m:val="p"></m:sty></m:rPr>n = tamanho da amostra</m:r></m:oMath></m:oMathPara><![endif][if !msEquation][if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f> <v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f> <v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f> <v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f> <v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f> <v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f> <v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f> <v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></v:path> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:31.5pt; height:14.25pt'> <v:imagedata src="file:///C:\Users\AZZIEN~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png" o:title="" chromakey="white"></v:imagedata> </v:shape><![endif][if !vml][endif] [if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:97.5pt;height:14.25pt'> <v:imagedata src="file:///C:\Users\AZZIEN~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png" o:title="" chromakey="white"></v:imagedata> </v:shape><![endif][if !vml][endif]Sendo, u = termos de erro n = tamanho da amostra

Prossegue-se dividindo cada termo de erro ao quadrado pela média calculada, faz-se então a regressão desses valores calculados como variável dependente pelas varíaveis independentes para as quais se deseja testar a hipótese de homocedasticidade, sendo elas consideradas no modelo original ou não.

[if gte msEquation 12]><m:oMathPara><m:oMath><span style='font-size:11.0pt;line-height:107%;font-family:"Calibri","sans-serif"; mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman"; mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin; mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi; mso-ansi-language:PT-BR;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r><m:rPr><m:scr m:val="roman"></m:scr><m:sty m:val="p"></m:sty></m:rPr>Sendo, </m:r></m:oMath> <m:oMath><span style='font-size:11.0pt;line-height:107%;font-family:"Calibri","sans-serif"; mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman"; mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin; mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi; mso-ansi-language:PT-BR;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'>u = termo de erro </m:oMath></m:oMathPara><![endif][if !msEquation][if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f> <v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f> <v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f> <v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f> <v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f> <v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f> <v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f> <v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></v:path> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:30pt; height:14.25pt'> <v:imagedata src="file:///C:\Users\AZZIEN~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png" o:title="" chromakey="white"></v:imagedata> </v:shape><![endif][if !vml][endif] Sendo, [if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:90pt;height:14.25pt'> <v:imagedata src="file:///C:\Users\AZZIEN~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png" o:title="" chromakey="white"></v:imagedata> </v:shape><![endif][if !vml][endif][endif]u = termo de erro da regressão original σ² = média dos quadrados dos termos de erro do modelo original γ = coeficientes da nova regressão

W = variáveis independentes em teste t = termo de erro da nova regresão A metade da soma dos quadrados explicados (SQE) dessa nova regressão com (i-1) graus de liberdade, sendo i o número de coeficientes da nova regressão inclusive o termo independente γ1, segue a distribuição qui quadrado para o caso de haver homocedasticidade, se 1/2 SQE for maior que a distribuição qui-quadrado ao nível de significância escolhido, pode-se rejeitar a hipótese de homocedasticidade . A fórmula para a SQE de uma regressão é: [if !supportLineBreakNewLine] [endif]

Sendo, Ŷ = Variável dependente calculada em função dos X de uma amostra Ymed = Média dos valores amostrais para a variável dependente n = tamanho da amostra

Para o caso específico do teste de Breusch-Pagan-Godfrey, Ymed é sempre igual a 1.

O teste de Breusch-Pagan-Godfrey fica mais acurado conforme há o aumento do tamanho da amostra, para pequenas amostras Gujarati expõe que o teste é sensível a hipótese da normalidade dos resíduos, esta hipótese no entanto é premissa para a avaliação de imóveis feita de acordo com a metodologia descrita na NBR-14653-2 para o método comparativo de dados de mercado.

REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Avaliação de Bens: Imóveis Urbanos. NBR 14653-2. Rio de Janeiro. 2011 GUJARATI, D. ; PORTER, D. Basic Econometrics. 5° ed. New York. McGraw-Hill.2011. PORTAL ACTION. Diagnóstico da Homocedasticidade.Disponível em: (www.portalaction.com.br/analise-de-regressao/32-diagnostico-de-homoscedasticidade). Acesso em 13/02/2017.